Equação do 2º Grau
Resolva equações do 2º grau com a Fórmula de Bhaskara. Veja o discriminante (Δ), as raízes e o gráfico da parábola. Grátis.
O que é Equação do 2º Grau?
A equação do 2º grau (ou equação quadrática) tem a forma ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. As soluções (raízes) são encontradas pela Fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, onde Δ = b² − 4ac (discriminante). O discriminante determina o número e tipo de raízes: Δ > 0 → duas raízes reais distintas; Δ = 0 → duas raízes reais iguais (raiz dupla); Δ < 0 → sem raízes reais (duas raízes complexas).
As equações do 2º grau modelam uma enorme variedade de fenômenos: trajetória de projéteis (física), área de terrenos e projetos de construção, otimização de lucros (economia), circuitos elétricos RLC, e análise de dados estatísticos. O gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c é uma parábola: abertura para cima quando a > 0 e para baixo quando a < 0. O vértice da parábola está em x = −b/2a (ponto de mínimo ou máximo), amplamente usado em problemas de otimização.
Como calcular?
Para resolver uma equação do segundo grau, utilize a Fórmula de Bhaskara. Primeiro, identifique os coeficientes a, b e c da equação na forma ax² + bx + c = 0. Calcule o discriminante (delta): Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0, existem duas raízes reais distintas. Se Δ = 0, existe uma raiz real dupla. Se Δ < 0, não há raízes reais. As raízes são calculadas por x = (−b ± √Δ) / (2a). Alternativamente, pode-se usar a soma e o produto das raízes ou completar quadrados.
Fórmula
ax² + bx + c = 0 | Δ = b² − 4ac | x = (−b ± √Δ) / (2a)Exemplo prático
Resolva a equação 2x² − 8x + 6 = 0: Coeficientes: a = 2, b = −8, c = 6 Δ = (−8)² − 4 × 2 × 6 = 64 − 48 = 16 Como Δ > 0, há duas raízes reais: x₁ = (−(−8) + √16) / (2×2) = (8 + 4) / 4 = 12/4 = 3 x₂ = (−(−8) − √16) / (2×2) = (8 − 4) / 4 = 4/4 = 1 As raízes são x = 3 e x = 1.
Perguntas Frequentes
Como usar a Fórmula de Bhaskara?
Passo 1: Identifique a, b e c na equação ax² + bx + c = 0. Passo 2: Calcule Δ = b² − 4ac. Passo 3: Se Δ < 0, não há raízes reais. Passo 4: Se Δ ≥ 0, calcule x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Exemplo: 2x² − 5x + 2 = 0 (a=2, b=−5, c=2). Δ = (−5)² − 4×2×2 = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3) ÷ 4. x₁ = 8÷4 = 2; x₂ = 2÷4 = 0,5. Verificação: 2(2)² − 5(2) + 2 = 8 − 10 + 2 = 0 ✓.
O que é o discriminante (Δ)?
O discriminante Δ = b² − 4ac determina a natureza das raízes: Δ > 0: duas raízes reais distintas (a parábola corta o eixo x em dois pontos); Δ = 0: raiz dupla (parábola tangente ao eixo x); Δ < 0: sem raízes reais (parábola não toca o eixo x; raízes são complexas: x = (−b ± i√|Δ|) ÷ 2a). Em problemas práticos, Δ < 0 pode significar que o problema não tem solução real (ex: área negativa é impossível).
Como completar quadrados em equação do 2º grau?
Completar o quadrado é um método alternativo à Bhaskara. Exemplo: x² + 6x + 5 = 0. 1) Isole os termos com x: x² + 6x = −5. 2) Adicione (6/2)² = 9 em ambos os lados: x² + 6x + 9 = −5 + 9 = 4. 3) Fatore o lado esquerdo: (x + 3)² = 4. 4) x + 3 = ±2 → x₁ = −1, x₂ = −5. Completar quadrados é fundamental para derivar a Fórmula de Bhaskara e para transformar a equação na forma vértice y = a(x−h)² + k.
Como aplicar equação do 2º grau em problemas de área?
Problema típico: 'Um terreno retangular tem 150 m² de área. O comprimento excede a largura em 5 metros. Quais as dimensões?' Modelagem: largura = x; comprimento = x + 5. Área: x(x + 5) = 150 → x² + 5x − 150 = 0. Bhaskara: Δ = 25 + 600 = 625; x = (−5 ± 25) ÷ 2 → x = 10 ou x = −15 (descartado). Dimensões: 10 m × 15 m. Verificação: 10 × 15 = 150 m² ✓. Esses problemas são frequentes no ENEM e vestibulares.
O que é a forma fatorada da equação quadrática?
Quando Δ ≥ 0, a equação ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), onde x₁ e x₂ são as raízes. As relações de Vieta connectam as raízes aos coeficientes: x₁ + x₂ = −b/a (soma das raízes); x₁ × x₂ = c/a (produto das raízes). Útil para: fatorar polinômios, simplificar frações algébricas e construir equações a partir das raízes. Exemplo: raízes 3 e −2 → equação x² − (3+(−2))x + (3×(−2)) = 0 → x² − x − 6 = 0.
Como a equação quadrática aparece no ENEM?
No ENEM, equações quadráticas aparecem em: Geometria (área de figuras, teorema de Pitágoras aplicado); Física (cinemática — equação horária do movimento acelerado: s = s₀ + v₀t + at²/2); Economia (lucro máximo, ponto de equilíbrio); Funções quadráticas e suas propriedades. Frequentemente o ENEM apresenta o problema em contexto e exige que o aluno monte a equação. Saber identificar a, b, c e aplicar Bhaskara é essencial.