Como usar: Análise Combinatória
1. Determine se a ORDEM importa no problema:
• Ordem importa → Arranjo ou Permutação
• Ordem não importa → Combinação
2. Verifique se há repetição de elementos permitida.
3. Identifique n (total de elementos) e r (elementos escolhidos).
4. Para Permutação: calcule n! (fatorial de n).
5. Para Arranjo: A(n,r) = n! ÷ (n−r)!. Calcule os fatoriais e divida.
6. Para Combinação: C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!). Use a propriedade C(n,r) = C(n, n−r) para simplificar.
Permutação simples: P(n) = n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 1
Arranjo simples: A(n,r) = n! ÷ (n−r)!
Combinação simples: C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)
Arranjo com repetição: AᴿR(n,r) = nʳ
Combinação com repetição: CᴿR(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)! ÷ (r! × (n−1)!)
Permutação com repetição: P(n; n₁,n₂,…) = n! ÷ (n₁! × n₂! × …)
Exemplo prático
Problema 1 — Senha de 4 dígitos distintos (0−9):
Arranjo: A(10,4) = 10! ÷ (10−4)! = 10! ÷ 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 senhas
Problema 2 — Comissão de 3 pessoas entre 8:
Combinação: C(8,3) = 8! ÷ (3! × 5!) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 56 comissões
Problema 3 — Anagramas de "AMOR" (4 letras distintas):
Permutação: P(4) = 4! = 24 anagramas
Perguntas frequentes
Como distinguir arranjo de combinação?▾
A pergunta-chave é: 'mudar a ordem muda o resultado?' Se sim, é arranjo; se não, é combinação. Exemplo: a senha '1234' é diferente de '4321' → arranjo. Uma comissão formada por João, Maria, Pedro é igual à formada por Pedro, João, Maria → combinação.
O que é fatorial e como calcular?▾
O fatorial de n (escrito n!) é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Exemplos: 0!=1 (por definição), 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040, 10!=3.628.800. Para números grandes, use a calculadora — fatoriais crescem muito rapidamente.
Qual a diferença entre permutação simples e com repetição?▾
Permutação simples: todos os n elementos são distintos. P(n)=n!. Permutação com repetição: alguns elementos se repetem. P(n;n₁,n₂,…)=n!÷(n₁!×n₂!×…). Exemplo: anagramas de 'ANA' (A aparece 2×): P(3;2,1) = 3!÷(2!×1!) = 6÷2 = 3 anagramas: ANA, AAN, NAA.
Como a combinatória aparece no ENEM?▾
O ENEM cobra contagem em contextos de: formação de grupos, comissões ou times (combinação); criação de senhas ou códigos (arranjo); anagramas e arranjos de palavras (permutação com repetição); probabilidade (C ou A no numerador/denominador). É muito comum pedir 'de quantas maneiras' algum evento pode ocorrer.
O que é o Princípio Fundamental da Contagem?▾
O PFC (ou Princípio Multiplicativo) diz: se um evento pode ocorrer de m maneiras e, para cada uma, outro evento pode ocorrer de n maneiras, então os dois eventos juntos podem ocorrer de m × n maneiras. Exemplo: 3 camisas e 4 calças → 3×4 = 12 combinações de vestuário.
