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Trigonometria

Calcule seno, cosseno, tangente e funções inversas em graus ou radianos. Com tabela de ângulos notáveis e Lei dos Senos/Cossenos.

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O que é Trigonometria?

A Trigonometria é o ramo da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados de triângulos. As três funções trigonométricas básicas são definidas no triângulo retângulo em relação a um ângulo θ:

Seno (sen): cateto oposto ÷ hipotenusa
Cosseno (cos): cateto adjacente ÷ hipotenusa
Tangente (tan): cateto oposto ÷ cateto adjacente (ou sen ÷ cos)

As funções recíprocas são: secante (sec = 1/cos), cossecante (csc = 1/sen) e cotangente (cot = 1/tan).

Para ângulos fora do triângulo retângulo, usa-se o Círculo Trigonométrico (raio 1). As funções trigonométricas têm aplicações em física (ondas, vetores), engenharia, arquitetura, navegação, astronomia, música e processamento de sinais.

Como calcular?

Identifique se o triângulo é retângulo (use sen/cos/tan direto) ou qualquer triângulo (use Lei dos Senos ou Cossenos).
Para converter entre graus e radianos: radianos = graus × π ÷ 180; graus = radianos × 180 ÷ π.
Para triângulo qualquer com dois lados e ângulo entre eles (SAS): use a Lei dos Cossenos para o terceiro lado.
Para triângulo com dois ângulos e um lado (ASA/AAS): use a Lei dos Senos para os outros lados.
Para funções inversas: arcsen(x) dá o ângulo cujo seno é x (−1 ≤ x ≤ 1); resultado em [−90°, 90°].

Fórmula

No triângulo retângulo:
  sen(θ) = cateto oposto ÷ hipotenusa
  cos(θ) = cateto adjacente ÷ hipotenusa
  tan(θ) = cateto oposto ÷ cateto adjacente = sen(θ) ÷ cos(θ)

Identidade fundamental: sen²(θ) + cos²(θ) = 1

Lei dos Senos: a ÷ sen(A) = b ÷ sen(B) = c ÷ sen(C) = 2R
Lei dos Cossenos: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)

Ângulos notáveis:
  0°: sen=0, cos=1, tan=0
  30°: sen=1/2, cos=√3/2, tan=√3/3
  45°: sen=√2/2, cos=√2/2, tan=1
  60°: sen=√3/2, cos=1/2, tan=√3
  90°: sen=1, cos=0, tan=indefinida

Exemplo prático

Exemplo 1 — Triângulo retângulo: Cateto oposto = 5, hipotenusa = 13. Qual o ângulo θ? sen(θ) = 5 ÷ 13 ≈ 0,3846 → θ = arcsen(0,3846) ≈ 22,62° cos(θ) = √(1 − 0,3846²) ≈ 0,923 → cateto adjacente = 0,923 × 13 = 12

Exemplo 2 — Lei dos Cossenos: Triângulo com a=7, b=10, ângulo C=60°. c² = 7² + 10² − 2×7×10×cos(60°) = 49 + 100 − 140×0,5 = 149 − 70 = 79 c = √79 ≈ 8,89

Perguntas Frequentes

Para que serve a identidade trigonométrica fundamental?

A identidade sen²(θ) + cos²(θ) = 1 é a relação mais importante da trigonometria — deriva diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado ao círculo trigonométrico. É usada para simplificar expressões, provar outras identidades e resolver equações trigonométricas.

Qual a diferença entre Lei dos Senos e Lei dos Cossenos?

Lei dos Senos: relaciona lados e ângulos opostos — use quando conhecer dois ângulos e um lado (ASA, AAS) ou dois lados e ângulo oposto (SSA, cuidado com caso ambíguo). Lei dos Cossenos: generaliza Pitágoras — use quando conhecer dois lados e o ângulo entre eles (SAS) ou três lados (SSS).

Como converter graus para radianos?

Radianos = Graus × (π ÷ 180). Exemplos práticos: 180° = π rad ≈ 3,1416; 90° = π/2 ≈ 1,5708; 360° = 2π ≈ 6,2832; 45° = π/4 ≈ 0,7854; 30° = π/6 ≈ 0,5236; 60° = π/3 ≈ 1,0472. Em calculadoras científicas, verifique se está em modo DEG (graus) ou RAD (radianos) antes de calcular.

Como trigonometria aparece no ENEM?

O ENEM cobra: altura de objetos usando tangente (poste, árvore, prédio visto em ângulo); distâncias em navegação e GPS; interpretação de funções seno/cosseno em gráficos de ondas; cálculo de área de triângulos com dois lados e ângulo (A = ab×sen(C)÷2); e rampas de acessibilidade (ângulo de inclinação).

O que é o ciclo trigonométrico?

O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 centrado na origem. Cada ponto na circunferência corresponde a um ângulo θ e tem coordenadas (cos θ, sen θ). Ele permite definir as funções para ângulos maiores que 90° e negativos, e visualizar os sinais (+ ou −) em cada quadrante: 1º→(+,+), 2º→(−,+), 3º→(−,−), 4º→(+,−).