Como usar: Trigonometria
1. Identifique se o triângulo é retângulo (use sen/cos/tan direto) ou qualquer triângulo (use Lei dos Senos ou Cossenos).
2. Para converter entre graus e radianos: radianos = graus × π ÷ 180; graus = radianos × 180 ÷ π.
3. Para triângulo qualquer com dois lados e ângulo entre eles (SAS): use a Lei dos Cossenos para o terceiro lado.
4. Para triângulo com dois ângulos e um lado (ASA/AAS): use a Lei dos Senos para os outros lados.
5. Para funções inversas: arcsen(x) dá o ângulo cujo seno é x (−1 ≤ x ≤ 1); resultado em [−90°, 90°].
No triângulo retângulo:
sen(θ) = cateto oposto ÷ hipotenusa
cos(θ) = cateto adjacente ÷ hipotenusa
tan(θ) = cateto oposto ÷ cateto adjacente = sen(θ) ÷ cos(θ)
Identidade fundamental: sen²(θ) + cos²(θ) = 1
Lei dos Senos: a ÷ sen(A) = b ÷ sen(B) = c ÷ sen(C) = 2R
Lei dos Cossenos: c² = a² + b² − 2ab × cos(C)
Ângulos notáveis:
0°: sen=0, cos=1, tan=0
30°: sen=1/2, cos=√3/2, tan=√3/3
45°: sen=√2/2, cos=√2/2, tan=1
60°: sen=√3/2, cos=1/2, tan=√3
90°: sen=1, cos=0, tan=indefinida
Exemplo prático
Exemplo 1 — Triângulo retângulo:
Cateto oposto = 5, hipotenusa = 13. Qual o ângulo θ?
sen(θ) = 5 ÷ 13 ≈ 0,3846 → θ = arcsen(0,3846) ≈ 22,62°
cos(θ) = √(1 − 0,3846²) ≈ 0,923 → cateto adjacente = 0,923 × 13 = 12
Exemplo 2 — Lei dos Cossenos:
Triângulo com a=7, b=10, ângulo C=60°.
c² = 7² + 10² − 2×7×10×cos(60°) = 49 + 100 − 140×0,5 = 149 − 70 = 79
c = √79 ≈ 8,89
Perguntas frequentes
Para que serve a identidade trigonométrica fundamental?▾
A identidade sen²(θ) + cos²(θ) = 1 é a relação mais importante da trigonometria — deriva diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado ao círculo trigonométrico. É usada para simplificar expressões, provar outras identidades e resolver equações trigonométricas.
Qual a diferença entre Lei dos Senos e Lei dos Cossenos?▾
Lei dos Senos: relaciona lados e ângulos opostos — use quando conhecer dois ângulos e um lado (ASA, AAS) ou dois lados e ângulo oposto (SSA, cuidado com caso ambíguo). Lei dos Cossenos: generaliza Pitágoras — use quando conhecer dois lados e o ângulo entre eles (SAS) ou três lados (SSS).
Como converter graus para radianos?▾
Radianos = Graus × (π ÷ 180). Exemplos práticos: 180° = π rad ≈ 3,1416; 90° = π/2 ≈ 1,5708; 360° = 2π ≈ 6,2832; 45° = π/4 ≈ 0,7854; 30° = π/6 ≈ 0,5236; 60° = π/3 ≈ 1,0472. Em calculadoras científicas, verifique se está em modo DEG (graus) ou RAD (radianos) antes de calcular.
Como trigonometria aparece no ENEM?▾
O ENEM cobra: altura de objetos usando tangente (poste, árvore, prédio visto em ângulo); distâncias em navegação e GPS; interpretação de funções seno/cosseno em gráficos de ondas; cálculo de área de triângulos com dois lados e ângulo (A = ab×sen(C)÷2); e rampas de acessibilidade (ângulo de inclinação).
O que é o ciclo trigonométrico?▾
O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 centrado na origem. Cada ponto na circunferência corresponde a um ângulo θ e tem coordenadas (cos θ, sen θ). Ele permite definir as funções para ângulos maiores que 90° e negativos, e visualizar os sinais (+ ou −) em cada quadrante: 1º→(+,+), 2º→(−,+), 3º→(−,−), 4º→(+,−).
