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Logaritmo

Calcule logaritmos em qualquer base, log natural (ln) e log decimal. Com propriedades, mudança de base e exemplos resolvidos.

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O que é Logaritmo?

O logaritmo é a operação matemática inversa da exponenciação. Se bˣ = y, então logᵦ(y) = x. Em outras palavras, o logaritmo responde à pergunta: "a que potência devo elevar a base b para obter y?"

Os tipos mais comuns de logaritmo são: • Log decimal (base 10): log(x) ou log₁₀(x) — usado em engenharia, escala Richter (terremotos), dB (decibéis de som), pH (acidez). • Log natural (base e): ln(x) — usado em cálculo, crescimento exponencial, termodinâmica, estatística. • Log binário (base 2): log₂(x) — fundamental em computação e teoria da informação.

Condições: a base b deve ser positiva e diferente de 1 (b > 0, b ≠ 1); o logaritmando x deve ser positivo (x > 0).

Como calcular?

Identifique a base (b) e o logaritmando (x). Verifique: b > 0, b ≠ 1 e x > 0.
Para bases 10 ou e, use diretamente a calculadora (log ou ln).
Para outras bases, aplique a mudança de base: logᵦ(x) = log(x) ÷ log(b).
Para simplificar expressões, aplique as propriedades do produto, quociente e potência.
Para resolver equações logarítmicas: log_b(f(x)) = log_b(g(x)) → f(x) = g(x) (se mesma base); ou converta para forma exponencial b^y = x.

Fórmula

Definição: logᵦ(x) = y  ⟺  bʸ = x
Mudança de base: logᵦ(x) = log(x) ÷ log(b) = ln(x) ÷ ln(b)
Propriedades:
  logᵦ(x × y) = logᵦ(x) + logᵦ(y)          (produto)
  logᵦ(x ÷ y) = logᵦ(x) − logᵦ(y)           (quociente)
  logᵦ(xⁿ) = n × logᵦ(x)                     (potência)
  logᵦ(b) = 1  |  logᵦ(1) = 0  |  logᵦ(bⁿ) = n
  log(10ⁿ) = n  |  ln(eⁿ) = n

Exemplo prático

Calcule: log₂(64)

Pergunta: "2 elevado a que potência é 64?" 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64 ✓ Portanto, log₂(64) = 6.

Usando mudança de base: log₂(64) = log(64) ÷ log(2) = 1,806 ÷ 0,301 = 6 ✓

Exemplo com propriedades: log₃(81) + log₃(3) = log₃(81 × 3) = log₃(243) = log₃(3⁵) = 5

Perguntas Frequentes

Logaritmo e exponencial: qual a relação?

São operações inversas. Se 10² = 100, então log₁₀(100) = 2. Se e^1 = e, então ln(e) = 1. Em gráficos, a função logarítmica é o espelho da exponencial em relação à reta y=x. Essa relação é fundamental para resolver equações exponenciais: bˣ = c → x = log_b(c).

Por que ln(e) = 1 e log(10) = 1?

Porque qualquer número elevado a 1 é ele mesmo: e¹ = e → ln(e) = 1; 10¹ = 10 → log(10) = 1. Em geral, logᵦ(b) = 1 para qualquer base válida. E logᵦ(1) = 0 porque b⁰ = 1 para qualquer base.

O que é a escala logarítmica e onde é usada?

A escala logarítmica comprime valores muito grandes em uma escala menor e legível. Usos: Escala Richter (terremoto 7 é 10× mais poderoso que o 6); escala de dB para som (cada 20dB = 10× mais intenso); pH (cada unidade representa 10× mais ácido/básico); crescimento de pandemias; gráficos de mercado financeiro de longo prazo.

Como logaritmo aparece no ENEM?

O ENEM cobra logaritmos em: escalas (Richter, dB, pH); equações exponenciais (bˣ = c → x = log_b(c)); crescimento e decaimento exponencial (população, carbono-14); cálculo de tempo para investimento dobrar (usando log); e simplificação de expressões com propriedades do log.

Logaritmo pode ser negativo?

Sim. log(0,1) = log(10⁻¹) = −1. O logaritmo é negativo quando o logaritmando é entre 0 e 1 (0 < x < 1 com base > 1). O logaritmo é zero quando x = 1. O logaritmo é positivo quando x > 1 (com base > 1). O logaritmo de zero ou negativo não existe (domínio inválido).