Como usar: Logaritmo
1. Identifique a base (b) e o logaritmando (x). Verifique: b > 0, b ≠ 1 e x > 0.
2. Para bases 10 ou e, use diretamente a calculadora (log ou ln).
3. Para outras bases, aplique a mudança de base: logᵦ(x) = log(x) ÷ log(b).
4. Para simplificar expressões, aplique as propriedades do produto, quociente e potência.
5. Para resolver equações logarítmicas: log_b(f(x)) = log_b(g(x)) → f(x) = g(x) (se mesma base); ou converta para forma exponencial b^y = x.
Definição: logᵦ(x) = y ⟺ bʸ = x
Mudança de base: logᵦ(x) = log(x) ÷ log(b) = ln(x) ÷ ln(b)
Propriedades:
logᵦ(x × y) = logᵦ(x) + logᵦ(y) (produto)
logᵦ(x ÷ y) = logᵦ(x) − logᵦ(y) (quociente)
logᵦ(xⁿ) = n × logᵦ(x) (potência)
logᵦ(b) = 1 | logᵦ(1) = 0 | logᵦ(bⁿ) = n
log(10ⁿ) = n | ln(eⁿ) = n
Exemplo prático
Calcule: log₂(64)
Pergunta: "2 elevado a que potência é 64?"
2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64 ✓
Portanto, log₂(64) = 6.
Usando mudança de base: log₂(64) = log(64) ÷ log(2) = 1,806 ÷ 0,301 = 6 ✓
Exemplo com propriedades:
log₃(81) + log₃(3) = log₃(81 × 3) = log₃(243) = log₃(3⁵) = 5
Perguntas frequentes
Logaritmo e exponencial: qual a relação?▾
São operações inversas. Se 10² = 100, então log₁₀(100) = 2. Se e^1 = e, então ln(e) = 1. Em gráficos, a função logarítmica é o espelho da exponencial em relação à reta y=x. Essa relação é fundamental para resolver equações exponenciais: bˣ = c → x = log_b(c).
Por que ln(e) = 1 e log(10) = 1?▾
Porque qualquer número elevado a 1 é ele mesmo: e¹ = e → ln(e) = 1; 10¹ = 10 → log(10) = 1. Em geral, logᵦ(b) = 1 para qualquer base válida. E logᵦ(1) = 0 porque b⁰ = 1 para qualquer base.
O que é a escala logarítmica e onde é usada?▾
A escala logarítmica comprime valores muito grandes em uma escala menor e legível. Usos: Escala Richter (terremoto 7 é 10× mais poderoso que o 6); escala de dB para som (cada 20dB = 10× mais intenso); pH (cada unidade representa 10× mais ácido/básico); crescimento de pandemias; gráficos de mercado financeiro de longo prazo.
Como logaritmo aparece no ENEM?▾
O ENEM cobra logaritmos em: escalas (Richter, dB, pH); equações exponenciais (bˣ = c → x = log_b(c)); crescimento e decaimento exponencial (população, carbono-14); cálculo de tempo para investimento dobrar (usando log); e simplificação de expressões com propriedades do log.
Logaritmo pode ser negativo?▾
Sim. log(0,1) = log(10⁻¹) = −1. O logaritmo é negativo quando o logaritmando é entre 0 e 1 (0 < x < 1 com base > 1). O logaritmo é zero quando x = 1. O logaritmo é positivo quando x > 1 (com base > 1). O logaritmo de zero ou negativo não existe (domínio inválido).
