Calculadora Online Grátis

Progressão Geométrica (PG)

Calcule termos, razão, soma e produto de progressões geométricas. Com fórmulas completas, exemplos e aplicações em juros compostos.

⚡ Calculadora interativa — ative o JavaScript para usar a ferramenta completa.

O que é Progressão Geométrica (PG)?

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números em que a razão entre cada termo e o anterior é sempre constante. Essa constante é chamada de razão (q). Exemplos: 2, 4, 8, 16, 32 (q=2); 100, 50, 25, 12,5 (q=0,5).

As PGs são classificadas em: crescente (q > 1 e a₁ > 0), decrescente (0 0), alternante (q < 0) e constante (q = 1). Têm aplicações fundamentais em finanças (juros compostos, que é uma PG), biologia (crescimento populacional, divisão celular), física (decaimento radioativo, atenuação de som), tecnologia (potências de 2 na computação) e economia (inflação composta).

Como calcular?

Identifique os dados conhecidos: primeiro termo (a₁), razão (q), posição do termo desejado (n) ou último termo (aₙ).
Para calcular um termo: aₙ = a₁ × q^(n−1). Eleve q à potência (n−1) e multiplique por a₁.
Para calcular a razão entre dois termos: q = ⁿ⁻¹√(aₙ ÷ a₁), onde n é a quantidade de termos.
Para a soma finita (q ≠ 1): Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Calcule qⁿ antes.
Para PG infinita convergente (|q| < 1): S∞ = a₁ ÷ (1 − q). Útil para séries infinitas e parcelas que diminuem.

Fórmula

Termo geral: aₙ = a₁ × q^(n−1)
Razão: q = ⁿ⁻¹√(aₙ ÷ a₁)
Soma dos n primeiros termos (q ≠ 1): Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1)
Soma dos n primeiros termos (q = 1): Sₙ = n × a₁
Soma da PG infinita (|q| < 1): S∞ = a₁ ÷ (1 − q)
Produto dos n termos: Pₙ = (a₁ × aₙ)^(n÷2)

Exemplo prático

Uma PG tem a₁ = 3 e q = 2. Calcule o 6º termo e a soma dos 6 primeiros termos.

6º termo: a₆ = 3 × 2^(6−1) = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96

Soma: S₆ = 3 × (2⁶ − 1) ÷ (2 − 1) = 3 × (64 − 1) ÷ 1 = 3 × 63 = 189

Sequência: 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Perguntas Frequentes

Juros compostos é uma PG?

Sim. Em juros compostos, o montante cresce multiplicado por (1+i) a cada período, formando uma PG com razão q = (1+i). Exemplo: R$ 1.000 a 10% ao mês: M₁=1100, M₂=1210, M₃=1331 — razão q=1,10. Por isso a PG é essencial para entender investimentos, financiamentos e dívidas.

O que é a soma da PG infinita e quando ela converge?

A soma infinita S∞ = a₁ ÷ (1−q) existe somente quando |q| < 1 (PG convergente). Exemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 ÷ (1−0,5) = 2. Quando |q| ≥ 1, a soma diverge para infinito. Isso é aplicado em cálculo de séries, física (ondas estacionárias) e matemática financeira (anuidades perpétuas).

Como verificar se três números estão em PG?

Três números a, b, c estão em PG se b² = a × c (o quadrado do meio é igual ao produto dos extremos). Exemplo: (2, 6, 18): 6² = 36 = 2×18 ✓ → estão em PG com q=3. Outro: (3, 6, 10): 6² = 36 ≠ 3×10 = 30 → não estão em PG.

Qual a diferença entre PA e PG no crescimento?

Na PA, os termos crescem em valor absoluto constante (crescimento linear). Na PG, os termos crescem em proporção constante (crescimento exponencial). Uma população que aumenta 1.000 pessoas/ano segue PA; uma que cresce 10% ao ano segue PG. A longo prazo, o crescimento exponencial da PG supera qualquer PA.

Como cai PG no ENEM?

O ENEM apresenta PGs em: crescimento populacional (bactérias, vírus), investimentos com juros compostos, potências de 2 em computação (memória RAM, endereçamento), divisão de herança geométrica, e problemas com 'dobrar' ou 'triplicar' quantidades. A fórmula do termo geral e a soma dos n primeiros termos são as mais cobradas.