Como usar: Progressão Aritmética (PA)
1. Identifique o que você conhece: primeiro termo (a₁), razão (r), último termo (aₙ) e/ou número de termos (n).
2. Para encontrar um termo qualquer: use aₙ = a₁ + (n−1) × r. Substitua os valores conhecidos.
3. Para encontrar a razão: r = (aₙ − a₁) ÷ (n−1). Você precisa conhecer dois termos e suas posições.
4. Para calcular a soma: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Se não souber aₙ, calcule-o antes pelo passo 2.
5. Para encontrar o número de termos: n = (aₙ − a₁) ÷ r + 1. Verifique se o resultado é inteiro — caso contrário, aₙ não pertence à PA.
Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) × r
Razão: r = (aₙ − a₁) ÷ (n − 1)
Soma dos n primeiros termos: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2 ou Sₙ = n × (2a₁ + (n−1)×r) ÷ 2
Número de termos: n = (aₙ − a₁) ÷ r + 1
Exemplo prático
Uma PA tem primeiro termo a₁ = 3 e razão r = 5. Qual é o 8º termo e a soma dos 8 primeiros termos?
Cálculo do 8º termo:
a₈ = a₁ + (8 − 1) × r = 3 + 7 × 5 = 3 + 35 = 38
Cálculo da soma:
S₈ = 8 × (a₁ + a₈) ÷ 2 = 8 × (3 + 38) ÷ 2 = 8 × 41 ÷ 2 = 164
Os primeiros 8 termos são: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre PA e PG?▾
Na Progressão Aritmética (PA), os termos diferem por uma constante somada (razão). Na Progressão Geométrica (PG), os termos diferem por uma constante multiplicada (razão). Exemplo: 2, 4, 6, 8 é uma PA (razão +2); 2, 4, 8, 16 é uma PG (razão ×2).
Juros simples é uma PA?▾
Sim. Em juros simples, o montante cresce em valor fixo a cada período (os juros são calculados sempre sobre o capital inicial). Por exemplo, R$ 1.000 a 10% ao mês: M₁=1100, M₂=1200, M₃=1300 — formam uma PA com razão R$ 100.
Como saber se um número pertence a uma PA?▾
Um número x pertence à PA se (x − a₁) ÷ r for um inteiro não-negativo. Por exemplo, na PA 3, 7, 11, 15... (r=4), o número 23: (23−3)÷4 = 5 → inteiro → pertence. O número 20: (20−3)÷4 = 4,25 → não inteiro → não pertence.
O que é uma PA de 3 termos (terna aritmética)?▾
Três termos a, b, c estão em PA quando b − a = c − b, ou seja, 2b = a + c. Em toda PA de 3 termos, o termo central é a média aritmética dos extremos. Exemplo: (4, 10, 16): 2×10 = 4+16 = 20 ✓.
Como o ENEM cobra Progressão Aritmética?▾
O ENEM costuma apresentar PAs em contextos práticos: fileiras de cadeiras em auditório (cada fileira tem mais cadeiras que a anterior em quantidade fixa), salários com reajuste fixo anual, produção industrial crescente, distâncias percorridas. Também aparecem como interpolação aritmética (inserir n meios entre dois extremos).
