Fatorial
Calcule n! (fatorial) para qualquer número inteiro de 0 a 500 com resultado exato. Veja o desenvolvimento passo a passo e o número de dígitos.
O que é Fatorial?
O fatorial de um número inteiro não negativo n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. É um dos conceitos mais importantes da matemática discreta, sendo a base de toda a análise combinatória. Onde o fatorial aparece:
Permutações: de quantas formas diferentes 5 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras? Resposta: 5! = 120 formas. Combinações: quantas combinações de 6 números em 60 existem na Mega-Sena? C(60,6) = 60! ÷ (6! × 54!) = 50.063.860. Probabilidade: calcular a chance de determinada sequência em cartas, dados e sorteios. Série de Taylor: ex = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … — a expansão de funções matemáticas usa fatoriais nos denominadores. Distribuição de Poisson e binomial: fórmulas estatísticas usadas em epidemiologia, controle de qualidade e ciência de dados.
Para números grandes, a calculadora usa precisão arbitrária (BigInt) — ao contrário de calculadoras comuns que perdem precisão acima de 253. O resultado de 100! tem 158 dígitos, e 500! tem 1.135 dígitos — todos corretos.
Como calcular?
Digite o número n no campo de entrada — deve ser um inteiro entre 0 e 500. Decimais e números negativos não são válidos (fatorial não é definido para esses casos). Clique em Calcular (ou pressione Enter). O resultado aparece em menos de um segundo, mesmo para n = 500. Leia o resultado: Para n ≤ 20: o valor exato é exibido por inteiro em notação brasileira (ex: 20! = 2.432.902.008.176.640.000). Para n > 20: exibição em notação científica com mantissa e expoente + número total de dígitos. O desenvolvimento mostra os primeiros fatores da multiplicação (para n ≤ 10, a sequência completa). Use os atalhos para valores comuns (0!, 5!, 10!, 20!, 50!, 100!) sem digitar.
Calculando à mão (para n pequeno): multiplique sequencialmente de n até 1. Exemplo: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
Fórmula
Definição recursiva:
n! = n × (n−1)! para n ≥ 1
0! = 1 (caso base — por definição)
Definição iterativa:
n! = 1 × 2 × 3 × … × (n−1) × n
Fórmulas derivadas (análise combinatória):
Permutação simples: P(n) = n!
Arranjo: A(n,r) = n! ÷ (n−r)!
Combinação: C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)
Aproximação de Stirling (para n grande):
n! ≈ √(2πn) × (n/e)n
onde e ≈ 2,71828. Útil para estimar ordens de grandeza sem calcular o valor exato.Exemplo prático
Exemplo 1 — Permutação (quantas formas): Anagramas da palavra "AMOR" (4 letras distintas): 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 anagramas. Exemplo 2 — Combinação (escolher sem ordem): Escolher 3 sabores entre 10 disponíveis: C(10,3) = 10! ÷ (3! × 7!) = 3.628.800 ÷ (6 × 5.040) = 120 combinações. Exemplo 3 — Mega-Sena (probabilidade): Acertar os 6 números entre 60: 1 em C(60,6) = 60! ÷ (6! × 54!) = 1 em 50.063.860. Exemplo 4 — Crescimento do fatorial: 5! = 120 | 10! = 3.628.800 | 15! = 1.307.674.368.000 | 20! = 2,43 × 10¹⁸ O fatorial cresce muito mais rápido que potências exponenciais.
Perguntas Frequentes
Para que serve o fatorial?
O fatorial é a base de toda a análise combinatória. Ele calcula o número de permutações (arranjos possíveis de n elementos), combinações (seleções sem considerar ordem) e é usado em probabilidade, estatística, série de Taylor e em algoritmos de computação como busca e ordenação.
Por que 0! = 1?
Por definição matemática, 0! = 1. Isso não é arbitrário: é necessário para que as fórmulas de combinatória funcionem. Por exemplo, C(n,0) = n! ÷ (0! × n!) = 1, o que faz sentido: há exatamente uma forma de escolher 0 itens de um conjunto — não escolher nenhum. A definição recursiva também exige: 1! = 1 × 0! = 1, logo 0! = 1.
Fatorial existe para números negativos ou decimais?
O fatorial clássico (n!) só é definido para inteiros não negativos. Para números reais positivos, existe a Função Gama (Γ), que generaliza o fatorial: Γ(n+1) = n!. Por exemplo, Γ(1/2) = √π. Nossa calculadora foca no fatorial inteiro, que é o caso mais usado em matemática escolar e universitária.
Qual o maior fatorial que a calculadora suporta?
A calculadora suporta até 500!, que tem exatamente 1.135 dígitos. O resultado usa precisão inteira (BigInt), sem arredondamentos. Para comparação: 100! tem 158 dígitos, e 170! já excede a capacidade de ponto flutuante padrão (que perde precisão acima de 2^53 ≈ 9 × 10^15).
Como usar o fatorial para calcular probabilidade de cartas?
Em um baralho de 52 cartas, o número de formas de distribuí-las é 52! ≈ 8,07 × 10^67. A probabilidade de receber uma mão específica de 5 cartas no pôquer é 1 ÷ C(52,5) = 1 ÷ (52! ÷ (5! × 47!)) = 1 ÷ 2.598.960 ≈ 0,0000385%.
O fatorial cresce mais rápido que a exponencial?
Sim, e muito mais rápido. Enquanto 2^n dobra a cada passo, n! multiplica por n a cada passo. Para n = 20: 2^20 ≈ 1 milhão, mas 20! ≈ 2,4 quintilhões. Essa diferença tem implicações importantes em algoritmos de computação: algoritmos O(n!) são considerados computacionalmente inviáveis para n > 15-20.
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