O fatorial de um número inteiro não negativo n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. É um dos conceitos mais importantes da matemática discreta, sendo a base de toda a análise combinatória.

Onde o fatorial aparece:

• Permutações: de quantas formas diferentes 5 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras? Resposta: 5! = 120 formas.
• Combinações: quantas combinações de 6 números em 60 existem na Mega-Sena? C(60,6) = 60! ÷ (6! × 54!) = 50.063.860.
• Probabilidade: calcular a chance de determinada sequência em cartas, dados e sorteios.
• Série de Taylor: e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … — a expansão de funções matemáticas usa fatoriais nos denominadores.
• Distribuição de Poisson e binomial: fórmulas estatísticas usadas em epidemiologia, controle de qualidade e ciência de dados.

Para números grandes, a calculadora usa precisão arbitrária (BigInt) — ao contrário de calculadoras comuns que perdem precisão acima de 2⁵³. O resultado de 100! tem 158 dígitos, e 500! tem 1.135 dígitos — todos corretos.

1. Digite o número n no campo de entrada — deve ser um inteiro entre 0 e 500. Decimais e números negativos não são válidos (fatorial não é definido para esses casos).
2. Clique em Calcular (ou pressione Enter). O resultado aparece em menos de um segundo, mesmo para n = 500.
3. Leia o resultado:
   • O valor exato é exibido por inteiro em notação brasileira, com todos os dígitos (ex: 20! = 2.432.902.008.176.640.000).
   • Para n > 20, todos os dígitos também são exibidos, sem substituir o resultado por notação científica; o número total de dígitos é informado.
   • O desenvolvimento mostra os primeiros fatores da multiplicação (para n ≤ 10, a sequência completa).
4. Use os atalhos para valores comuns (0!, 5!, 10!, 20!, 50!, 100!) sem digitar.

Calculando à mão (para n pequeno): multiplique sequencialmente de n até 1. Exemplo: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

Definição recursiva:

• n! = n × (n−1)!  para n ≥ 1
• 0! = 1  (caso base — por definição)

Definição iterativa:

n! = 1 × 2 × 3 × … × (n−1) × n

Fórmulas derivadas (análise combinatória):

• Permutação simples: P(n) = n!
• Arranjo: A(n,r) = n! ÷ (n−r)!
• Combinação: C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)

Aproximação de Stirling (para n grande):

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

onde e ≈ 2,71828. Útil para estimar ordens de grandeza sem calcular o valor exato.

Exemplo 1 — Permutação (quantas formas):
Anagramas da palavra "AMOR" (4 letras distintas): 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 anagramas.

Exemplo 2 — Combinação (escolher sem ordem):
Escolher 3 sabores entre 10 disponíveis: C(10,3) = 10! ÷ (3! × 7!) = 3.628.800 ÷ (6 × 5.040) = 120 combinações.

Exemplo 3 — Mega-Sena (probabilidade):
Acertar os 6 números entre 60: 1 em C(60,6) = 60! ÷ (6! × 54!) = 1 em 50.063.860.

Exemplo 4 — Crescimento do fatorial:
5! = 120  |  10! = 3.628.800  |  15! = 1.307.674.368.000  |  20! = 2,43 × 10¹⁸
O fatorial cresce muito mais rápido que potências exponenciais.